多项式的根与因式分解是 AIME 中的核心概念，涉及多项式的基本性质、因式定理、余数定理等重要内容。
Roots and factorization of polynomials are core concepts in AIME, involving basic properties of polynomials, factor theorem, remainder theorem, and other important content.
多项式的基本性质：
- n 次多项式最多有 n 个根（重根按重数计算）
- 实系数多项式的非实根总是成对出现（共轭复数）
- 有理系数多项式的有理根满足有理根定理
- 整数系数多项式的整数根是常数项的因数
例题 1 Example 1
根据因式定理，由于 P(1) = 0，P(2) = 0，所以 P(x) 可以表示为：
P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - k)
展开得：P(x) = x³ - (k + 3)x² + (2k + 3)x - 2k
利用 P(3) = 6：
(3 - 1)(3 - 2)(3 - k) = 6
2 × 1 × (3 - k) = 6
3 - k = 3
k = 0
所以 P(x) = (x - 1)(x - 2)x = x³ - 3x² + 2x
因此，c = 0。
By factor theorem, since P(1) = 0 and P(2) = 0, we can write P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - k). Using P(3) = 6: (3 - 1)(3 - 2)(3 - k) = 6 → k = 0. Thus P(x) = x³ - 3x² + 2x, so c = 0.
韦达定理是多项式理论中的重要工具，它描述了多项式的根与系数之间的关系。在 AIME 中，韦达定理有着广泛的应用。
Vieta's formulas are important tools in polynomial theory that describe the relationship between the roots and coefficients of a polynomial. Vieta's formulas have wide applications in AIME.
韦达定理的应用：
- 已知多项式的根，求系数
- 已知多项式的系数，求根的和、积等对称函数
- 解决与根的对称函数相关的问题
- 构造辅助多项式
例题 2 Example 2
根据韦达定理，对于多项式 x³ + ax² + bx + c，有：
p + q + r = -a
pq + pr + qr = b
pqr = -c
已知 p + q + r = 3，所以 a = -3
pq + pr + qr = 5，所以 b = 5
pqr = 7，所以 c = -7
因此，a + b + c = -3 + 5 - 7 = -5。
By Vieta's formulas: p + q + r = -a → a = -3; pq + pr + qr = b → b = 5; pqr = -c → c = -7. Thus a + b + c = -3 + 5 - 7 = -5.
多项式插值是通过给定的点来构造多项式的方法，在 AIME 中偶尔出现。掌握多项式插值的基本方法，对于解决某些问题非常有帮助。
Polynomial interpolation is a method of constructing polynomials through given points, which occasionally appears in AIME. Mastering basic methods of polynomial interpolation is very helpful for solving certain problems.
多项式插值的应用：
- 通过给定的点构造多项式
- 求多项式在某点的值
- 解决与多项式值相关的问题
- 构造辅助多项式
例题 3 Example 3
使用拉格朗日插值法构造多项式 P(x)：
P(x) = 1×[(x-2)(x-3)(x-4)]/[(1-2)(1-3)(1-4)] + 2×[(x-1)(x-3)(x-4)]/[(2-1)(2-3)(2-4)] + 3×[(x-1)(x-2)(x-4)]/[(3-1)(3-2)(3-4)] + 5×[(x-1)(x-2)(x-3)]/[(4-1)(4-2)(4-3)]
计算各分母：
对于 x=1: (-1)(-2)(-3) = -6
对于 x=2: (1)(-1)(-2) = 2
对于 x=3: (2)(1)(-1) = -2
对于 x=4: (3)(2)(1) = 6
所以 P(x) = 1×[(x-2)(x-3)(x-4)]/(-6) + 2×[(x-1)(x-3)(x-4)]/2 + 3×[(x-1)(x-2)(x-4)]/(-2) + 5×[(x-1)(x-2)(x-3)]/6
化简后计算 P(5)：
P(5) = 1×(3×2×1)/(-6) + 2×(4×2×1)/2 + 3×(4×3×1)/(-2) + 5×(4×3×2)/6
P(5) = 1×(6)/(-6) + 2×(8)/2 + 3×(12)/(-2) + 5×(24)/6
P(5) = -1 + 8 - 18 + 20 = 9
Using Lagrange interpolation: P(x) = 1×[(x-2)(x-3)(x-4)]/(-6) + 2×[(x-1)(x-3)(x-4)]/2 + 3×[(x-1)(x-2)(x-4)]/(-2) + 5×[(x-1)(x-2)(x-3)]/6. Calculating P(5) = -1 + 8 - 18 + 20 = 9.