基本不等式是 AIME 中的核心概念，涉及均值不等式、柯西不等式、排序不等式等重要内容。
Basic inequalities are core concepts in AIME, involving mean inequality, Cauchy inequality, rearrangement inequality, and other important content.
例题 1 Example 1
方法一：利用均值不等式
x² + y² ≥ 2xy，当且仅当 x = y 时等号成立
又 x + y = 1，所以 (x + y)² = 1 → x² + 2xy + y² = 1
因此 x² + y² = 1 - 2xy ≥ 1 - 2×( (x + y)/2 )² = 1 - 2×(1/4) = 1 - 1/2 = 1/2
当 x = y = 1/2 时，等号成立，所以最小值为 1/2。
方法二：利用二次函数
由 x + y = 1 得 y = 1 - x，代入 x² + y² 得：
x² + (1 - x)² = 2x² - 2x + 1 = 2(x - 1/2)² + 1/2
当 x = 1/2 时，最小值为 1/2。
Method 1: Using mean inequality. x² + y² ≥ 2xy, and (x + y)² = 1 → x² + 2xy + y² = 1 → x² + y² = 1 - 2xy ≥ 1 - 2×(1/4) = 1/2. Method 2: Using quadratic function. y = 1 - x, so x² + y² = 2x² - 2x + 1 = 2(x - 1/2)² + 1/2, minimum at x = 1/2 is 1/2.
不等式的证明是 AIME 中的重要内容，涉及比较法、分析法、综合法、数学归纳法等多种证明方法。
Proof of inequalities is an important content in AIME, involving comparison method, analytic method, synthetic method, mathematical induction, and other proof methods.
不等式证明的技巧：
- 配方法：将不等式变形为完全平方形式
- 换元法：通过变量替换简化不等式
- 放缩法：通过适当的放缩证明不等式
- 构造函数：利用函数的单调性证明不等式
例题 2 Example 2
利用柯西不等式：
(1² + 1² + 1²)(a² + b² + c²) ≥ (a + b + c)²
即 3(a² + b² + c²) ≥ 9
所以 a² + b² + c² ≥ 3
当且仅当 a = b = c = 1 时等号成立。
另一种方法：利用均值不等式
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) ≤ a² + b² + c² + 2(a² + b² + c²) = 3(a² + b² + c²)
所以 9 ≤ 3(a² + b² + c²) → a² + b² + c² ≥ 3
Using Cauchy inequality: (1² + 1² + 1²)(a² + b² + c²) ≥ (a + b + c)² → 3(a² + b² + c²) ≥ 9 → a² + b² + c² ≥ 3. Alternatively, using mean inequality: (a + b + c)² ≤ 3(a² + b² + c²) → 9 ≤ 3(a² + b² + c²) → a² + b² + c² ≥ 3.
优化问题是 AIME 中的重要内容，涉及最大值、最小值问题的求解，以及各种优化方法的应用。
Optimization problems are an important content in AIME, involving solving maximum and minimum value problems, and applying various optimization methods.
优化问题的应用场景：
- 几何中的最值问题
- 经济中的优化问题
- 物理中的极值问题
- 组合数学中的最优问题
例题 3 Example 3
方法一：利用均值不等式
对于 x > 0，有 x + 1/x ≥ 2√(x × 1/x) = 2，当且仅当 x = 1/x，即 x = 1 时等号成立。
所以函数 f(x) = x + 1/x 在区间 (0, +∞) 上的最小值为 2。
方法二：利用导数
求导数 f'(x) = 1 - 1/x²，令 f'(x) = 0，解得 x = 1（x = -1 舍去）。
当 0 < x < 1 时，f'(x) < 0；当 x > 1 时，f'(x) > 0。
所以 x = 1 是函数的极小值点，也是最小值点，f(1) = 2。
Method 1: Using mean inequality. For x > 0, x + 1/x ≥ 2√(x × 1/x) = 2, with equality when x = 1. Method 2: Using derivative. f'(x) = 1 - 1/x², set f'(x) = 0 → x = 1. f(1) = 2 is the minimum value.