直线与圆是解析几何中的基础概念，涉及直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系等内容。
Lines and circles are basic concepts in analytic geometry, involving equations of lines, equations of circles, and positional relationships between lines and circles.
直线与圆的位置关系：
- 相离：圆心到直线的距离 > 半径
- 相切：圆心到直线的距离 = 半径
- 相交：圆心到直线的距离 < 半径
例题 1 Example 1
首先计算直线的斜率 k：
k = (4 - 2)/(3 - 1) = 2/2 = 1
然后使用点斜式：
y - 2 = 1×(x - 1)
化简得：y = x + 1
所以直线的方程为 y = x + 1。
First calculate the slope k: k = (4 - 2)/(3 - 1) = 1. Using point-slope form: y - 2 = 1×(x - 1) → y = x + 1.
圆锥曲线是解析几何中的重要内容，涉及椭圆、双曲线、抛物线等曲线的性质和方程。
Conic sections are important content in analytic geometry, involving properties and equations of ellipses, hyperbolas, parabolas, and other curves.
圆锥曲线的性质：
- 椭圆：到两个焦点的距离之和为常数
- 双曲线：到两个焦点的距离之差的绝对值为常数
- 抛物线：到焦点的距离等于到准线的距离
例题 2 Example 2
椭圆的标准方程为 x²/a² + y²/b² = 1，其中 a > b > 0。
对于给定的椭圆，a² = 25，所以 a = 5；b² = 16，所以 b = 4。
焦距 c 满足 c² = a² - b² = 25 - 16 = 9，所以 c = 3。
焦距为 2c = 6。
The standard equation of an ellipse is x²/a² + y²/b² = 1 with a > b > 0. For the given ellipse, a² = 25 → a = 5, b² = 16 → b = 4. The focal length c satisfies c² = a² - b² = 9 → c = 3. Thus the focal length is 2c = 6.
解析几何的应用是 AIME 中的重要内容，涉及距离公式、中点公式、斜率公式、面积公式等多个概念的应用。
Applications of analytic geometry are important content in AIME, involving applications of distance formula, midpoint formula, slope formula, area formula, and other concepts.
解析几何的应用场景：
- 计算距离和角度
- 求直线和曲线的交点
- 求几何图形的面积和周长
- 解决几何证明问题
例题 3 Example 3
使用坐标法计算三角形面积：
S = (1/2)|x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)|
代入数值：
S = (1/2)|1×(4 - 0) + 3×(0 - 2) + 5×(2 - 4)|
S = (1/2)|4 - 6 - 10| = (1/2)|-12| = 6
所以三角形 ABC 的面积为 6。
Using the coordinate method to calculate the area of the triangle: S = (1/2)|1×(4 - 0) + 3×(0 - 2) + 5×(2 - 4)| = (1/2)|4 - 6 - 10| = 6.