⚖️ 不等式与优化

1.1 均值不等式（AM-GM Inequality） AM-GM Inequality

均值不等式（AM-GM Inequality）是不等式理论中最基础也最重要的不等式之一。

最常用的形式（n = 2）：

常用变形：

• a + b ≥ 2√(ab) — 求最小值常用
• ab ≤ (a+b)²/4 — 求最大值常用
• a + 1/a ≥ 2 (a > 0) — 取等条件 a = 1
• a² + b² ≥ 2ab — 恒成立，取等条件 a = b

三元形式（n = 3）：

1.2 Cauchy-Schwarz 不等式 Cauchy-Schwarz Inequality

Cauchy-Schwarz 不等式（柯西-施瓦茨不等式）是 AMC 12 中最有力的不等式工具之一。

最常用的二维形式：

常用技巧：Engel 形式（Titu 引理）：

This form is especially useful for simplifying sum-of-fractions expressions commonly seen in AMC 12 problems.

1.3 三角不等式进阶 Advanced Triangle Inequality

基本的三角不等式我们已经熟悉：

AMC 12 中的进阶应用：

• 多点路径问题：利用三角不等式求最短路径，如 |AC| + |CB| ≥ |AB|
• 绝对值函数的最小值：||x − a| − |x − b|| ≤ |a − b|
• 向量三角不等式：在坐标几何中，|AB| + |BC| ≥ |AC|（三点共线时取等）
• Minkowski 不等式：(∑(aᵢ+bᵢ)²)^(1/2) ≤ (∑aᵢ²)^(1/2) + (∑bᵢ²)^(1/2)

In AMC 12, the triangle inequality often appears in geometric contexts — finding shortest paths between points, or proving certain distances must satisfy certain bounds.

2.1 一元高次不等式（符号分析法） Higher-Degree Inequalities by Sign Analysis

一元高次不等式 f(x) > 0（或 < 0）的解法：

关键规则：

• 奇数次根（单根）：函数值穿过 x 轴（符号变化）
• 偶数次根（重根）：函数值不穿过 x 轴（符号不变）
• 从右上方开始：因为最高次系数为正，x → +∞ 时 f(x) > 0

2.2 绝对值不等式进阶 Advanced Absolute Value Inequalities

AMC 12 中的绝对值不等式通常涉及多个绝对值或嵌套绝对值。

方法一：分段讨论法

Find the zero of each absolute value expression, partition the number line into intervals, and solve on each interval.

方法二：平方去绝对值

方法三：几何意义法

• |x − a| 表示数轴上 x 到 a 的距离
• |x − a| + |x − b| ≥ |a − b|（到两点的距离之和 ≥ 两点间距离）
• ||x − a| − |x − b|| ≤ |a − b|（到两点距离之差的绝对值 ≤ 两点间距离）

2.3 含参不等式 Inequalities with Parameters

含参不等式是指含有待定参数的不等式，需要讨论参数的不同取值情况。

恒成立问题的关键判据：

3.1 最值问题（利用不等式求最值） Extrema Using Inequalities

利用不等式求最值是 AMC 12 中最高频的不等式应用。

使用不等式求最值的三个条件：

• 正数条件：所有参与 AM-GM 的数必须为正
• 定值条件：和或积必须为常数
• 等号条件：等号必须能取到

3.2 约束条件下的优化 Constrained Optimization

约束优化问题通常在给定条件下求目标表达式的最值。

方法一：代入消元法

Use the constraint to eliminate one variable, then find the extremum of the resulting single-variable expression.

方法二：Lagrange 乘子法思路（简化版）

For two-variable optimization with constraint g(x,y) = c, the key insight is: at the optimum, the gradients of f and g are parallel.

常见题型：

• 已知 x + y = k，求 x² + y²（或 xy）的最大/最小值
• 已知 xy = k，求 x + y 的最小值
• 几何中的约束优化（如面积最大、周长最小）

3.3 对称化与均值化 Symmetrization and Equalization

当目标函数关于变量具有对称性时，最值往往在对称点（即各变量相等）处取得。

均值化方法：

• 调整法（Smoothing）：逐步将变量"拉平"到均值，每次调整不会使目标值变差
• 排序不等式：对于同序排列 a₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ aₙ 和 b₁ ≤ b₂ ≤ ... ≤ bₙ，Σaᵢbᵢ ≥ Σaᵢb_{σ(i)}
• 凸函数性质：利用 Jensen 不等式，凸函数在对称条件下取最大值

The symmetrization principle is powerful: if both the objective and constraints are symmetric, the extremum often occurs when all variables are equal. This gives you a quick "guess" that you can verify.